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更新 2022-09-03
科目数学
题型计算题
难度中等
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如图1，二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，它的顶点为点 $D$ ．

（1）写出点 $D$ 的坐标　　．

（2）点 $P$ 在对称轴 $l$ 上，位于点 $C$ 上方，且 $CP = 2 CD$ ，以 $P$ 为顶点的二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $A$ ．

①试说明二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $B$ ；

②点 $R$ 在二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象上，到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，当点 $R$ 的坐标为　　时，二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有三个点到 $x$ 轴的距离等于 $2 d$ ；

③如图2，已知 $0 < m < 2$ ，过点 $M (0, m)$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 、 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ （点 $E$ 、 $G$ 在对称轴 $l$ 左侧），过点 $H$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $N$ ，交二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象于点 $Q$ ，若 $ΔGHN ∽ ΔEHQ$ ，求实数 $m$ 的值．