已知函数在与时都取得极值 (1)求的值; (2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.
如图,四棱锥 P - A B C D 中, A B ⊥ A C , A B ⊥ P A , A B / / C D , A B = 2 C D , E , F , G , M , N 分别为 P B , A B , B C , P D , P C 的中点.
(Ⅰ)求证: D E / / 平面 P A D ; (Ⅱ)求证:平面 E F G ⊥ 平面 E M N .
设函数 f x = 3 2 - 3 sin 2 ω x - sin ω x cos ω x ω > 0 ,且 y = f x 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π 4 , (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f x 在区间 π , 3 π 2 上的最大值和最小值.
某小组共有 A , B , C , D , E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在 [ 18 . 5 , 23 . 9 ) 中的概率.
椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左 、 右焦点分别是 F 1 , F 2 ,离心率为 3 2 ,过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 P F 1 , P F 2 ,设 ∠ F 1 P F 2 的角平分线 P M 交 C 的长轴于点 M m , 0 ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线的 P F 1 , P F 2 斜率分别为 k 1 , k 2 .若 k ≠ 0 ,试证明 1 k k 1 + 1 k k 2 为定值,并求出这个定值.
已知函数 f ( x ) = x e 2 x + c ( e = 2 . 71828 . . . 是自然对数的底数, c ∈ R ). (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x = f ( x ) 根的个数。