在数列中,,(Ⅰ)求,判断数列的单调性并证明;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在常数,对任意,有?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人,记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.
选修4—4:极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为:.(1)将极坐标方程化为普通方程;(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
选修4—2:矩阵与变换已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=,属于特征值1的一个特征向量为α2=.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
(本小题满分16分)设数列的通项公式为,数列定义如下:对于正整数,是使得不等式成立的所有中的最小值.(1)若,求;(2)若,求数列的前项和公式;(3)是否存在和,使得?如果存在,求和的取值范围?如果不存在,请说明理由.
(本小题满分16分)对于函数,如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函数和在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数,.(1)当,时,判断函数和是否相切?并说明理由;(2)已知,,且函数和相切,求切点P的坐标; (3)设,点P的坐标为,问是否存在符合条件的函数和,使得它们在点P处相切?若点P的坐标为呢?(结论不要求证明)