本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，记 $A_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}$ ， $B_{n} = a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n + 1}$ ， $C_{n} = a_{3} + a_{4} + . . . + a_{n + 2}$ ， $n = 1, 2,$ ……
（1）若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 5$ ，且对任意 $n \in N$ ﹡，三个数 $A (n)$ ， $B (n)$ ， $C (n)$ 组成等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n \in N^{+}$ ，三个数 $A (n)$ ， $B (n)$ ， $C (n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B$ =4， $B C$ =3， $A D$ =5， $∠ D A B$ = $∠ A B C$ =90°， $E$ 是 $C D$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；
（Ⅱ）若直线 $P B$ 与平面 $P A E$ 所成的角和 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角相等，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）

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对于项数为m的有穷数列数集 ${a_{n}}$ ，记 $b_{k} = m a x {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ），即 $b_{k}$ 为 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 中的最大值，并称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ${a_{n}}$ ；
（2）设 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，满足 $a_{k} + b_{m - k + 1} = C$ （ $C$ 为常数， $k = 1, 2, . . ., m$ ）.求证： $b_{k} = a_{k}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ）；
（3）设 $m = 100$ ，常数 $a \in (\frac{1}{2}, 1)$ .若 $a_{n} = a n^{2} - (- 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}} n$ ， ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，求 $(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + . . . + (b_{100} - a_{100})$ .

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）设 $F$ 是 $C$ 的左焦点， $M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|M F| = 2 \sqrt{2}$ ，求过 $M$ 点的坐标；
（2）过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
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