（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，，A16的16名校

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）编号分别为A₁，A₂，，A₁₆的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆	A₇	A₈
得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	A₉	A₁₀	A₁₁	A₁₂	A₁₃	A₁₄	A₁₅	A₁₆
得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间	[10,20）	[20,30）	[30,40]
人数

（2）从得分在区间[20,30）内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．

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如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A A_{1}$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．

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设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列， ${{b}_{n}}$ 是首项 $b_{1}$ ，公比为q的等比数列

（1）设 $a_{1} =0 ， b_{1} =1,q=2 ，$ 若 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围

（2）若 $a_{1} {=b}_{1} > 0$ ， $m \in N^{*}$ ， $q \in (1, \sqrt[m]{2}]$ 证明：存在 $d \in R$ ，使得 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=2，3，…， $m+ 1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}$ $， m ， q$ 表示）。

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记 $f^{'} (x), g^{'} (x)$ 分别为函数 $f (x), g (x)$ 的导函数.若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“S点”.

（2）若函数 $f (x) = a x^{2} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.

（3）已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，对任意 $a > 0$ ，判断是否存在 $b > 0$ ，使函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内存在“S”点，并说明理由.

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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0), F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $ΔOAB$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $MPN$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $MN$ 构成,已知圆 $O$ 的半径为40米,点 $P$ 到 $MN$ 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $ABCD$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $ΔCDP$ 要求 $AB$ 均在线段 $MN$ 上, $C, D$ 均在圆弧上,设 $OC$ 与 $MN$ 所成的角为 $θ$

（1）用 $θ$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $Δ C D P$ 的面积,并确定 $\sin θ$ 的取值范围

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4 : 3$ .求当 $θ$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

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