（本小题满分10分）如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分10分）如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于,过点的切线交的延长线于。

（1）求证：；
（2）若的半径为，.求：的长。

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已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x + 1} + \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ ，
（1）求 $a, b$ 的值
（2）证明：当 $x > 0, x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{\ln x}{1 - x}$

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在平面直角坐标系中,曲线 $y = x^{2} - 6 x + 1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上，
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）如果圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 交于 $A, B$ 两点,且 $O A ⊥ O B$ ,求 $a$ 的值.

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某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（ $A$ 配方、 $B$ 配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：
$A$ 配方的频数分布表

指标值分组	$[90, 94)$	$[94, 98)$	$[98, 102)$	$[102, 106)$	$[106, 110)$
频数	8	20	42	22	8

B配方的频数分布表

指标值分组	$[90, 94)$	$[94, 98)$	$[98, 102)$	$[102, 106)$	$[106, 110)$
频数	4	12	42	32	8

(1)分别估计使用 $A$ 配方，B配方生产的产品的优质品的概率；
(2)已知用 $B$ 配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为： $y = {\begin{matrix} - 2 (t < 94) \\ 2 (94 \leq t < 102) \\ 4 (t \geq 102) \end{matrix}$ 估计用 $B$ 配方生产上述产品平均每件的利润。

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如图,四棱锥 $P - A B C D$ 中,底面 $A B C D$ 为平行四边形, $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2 A D, P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)证明: $P A ⊥ B D$ ;

(2)设 $P D = A D = 1$ ,求棱锥 $D - P B C$ 的高.

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已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}$ ，
（1） $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和，证明： $S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$ .
（2）设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + . . . + \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

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