选修42：矩阵与变换已知矩阵，A的逆矩阵.（1）求a，b的值

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，A的逆矩阵.
（1）求a，b的值；（2）求A的特征值.

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已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有定义，对任何实数 $a > 0$ 和任何实数 $x$ ，都有 $f (a x) = a f (x)$

（Ⅰ）证明 $f (0) = 0$ ；

（Ⅱ）证明 $f (x) = \{\begin{cases} k x, x \geq 0 \\ h x, x < 0 \end{cases}$ ,其中 $k$ 和 $h$ 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 $k > 0$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{f (x)} + f (x) (x > 0)$ ，讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值.

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在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 $ξ$ 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出 $ξ$ 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。（要求写出计算过程或说明道理）

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已知 $\frac{3 π}{4} < a < π$ , $\tan a + c o t a = - \frac{10}{3}$

（Ⅰ）求 $\tan a$ 的值；
（Ⅱ）求 $\frac{5 \sin^{2} \frac{a}{2} + 8 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} + 11 \cos^{2} \frac{a}{2} - 8}{\sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{2})}$ 的值.

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（本小题12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）= x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．

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