某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域,计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四旁四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角上铺草坪,造价为每平方米80元.(1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式;(2)当x为何值时S最小,并求出这个最小值.
(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程. 已知直线为参数), 曲线(为参数). (Ⅰ)设与相交于两点,求; (Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
(本小题满分12分)已知函数. (Ⅰ)当时,讨论的单调性; (Ⅱ)当时,对于任意的,证明:不等式
(本小题满分12分)已知椭圆经过点,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)动直线交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面为菱形,平面,,分别为的中点,. (Ⅰ)求证:平面平面. (Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表: 根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为,求随机变量的分布列和数学期望。