(文科)给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程;(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明;(ⅱ)求证:线段的长为定值.
(本小题满分12分) 已知函数. (1)求函数的定义域及的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)判断在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
(本小题满分12分) A、B、C、D、E五位学生的数学成绩x与物理成绩y(单位:分)如下表:
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程; (参考数值:,) (2)若学生F的数学成绩为90分,试根据(1)求出的线性回归方程,预测其物理成绩(结果保留整数).
(本小题10分)已知数列的前项和. 计算,,,; 猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
(本小题10分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间定价多少时,宾馆利润最大?
(本小题10分)设是二次函数,方程有两个相等的实根,且. (1)求的表达式; (2)若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求的值.