如图，直线AB与CD相交于O，OE平分∠AOB，OF平分∠C

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，直线AB与CD相交于O，OE平分∠AOB，OF平分∠COD．

（1）图中与∠COA互补的角是；（把符合条件的所有角都写出来）
（2）如果∠AOC=35°，求∠EOF的度数．

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已知直线 $y = kx - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - bx + c (b$ ， $c$ 为常数， $b > 0)$ 的一个交点为 $A (- 1, 0)$ ，点 $M (m, 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y = kx - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - bx + c (b$ ， $c$ 为常数， $b > 0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{ΔEQM} = \frac{1}{2} S_{ΔACE}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b + \frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2} AM + 2 DM$ 的最小值为 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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问题背景：如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $∠ BCD = 90 °$ ， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 120 °$ ， $∠ MBN = 60 °$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转，它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ．探究图中线段 $AE$ ， $CF$ ， $EF$ 之间的数量关系．

小李同学探究此问题的方法是：延长 $FC$ 到 $G$ ，使 $CG = AE$ ，连接 $BG$ ，先证明 $ΔBCG ≅ ΔBAE$ ，再证明 $ΔBFG ≅ ΔBFE$ ，可得出结论，他的结论就是　　；

探究延伸1：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $∠ BCD = 90 °$ ， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 2 ∠ MBN$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出"成立"或者"不成立" $)$ ，不要说明理由；

探究延伸2：如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $BA = BC$ ， $∠ BAD + ∠ BCD = 180 °$ ， $∠ ABC = 2 ∠ MBN$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ．上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $(O$ 处）北偏西 $30 °$ 的 $A$ 处．舰艇乙在指挥中心南偏东 $70 °$ 的 $B$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里 $/$ 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50 °$ 的方向以100海里 $/$ 小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 $E$ 、 $F$ 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70 °$ ．试求此时两舰艇之间的距离．

题型：未知
难度：未知

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线， $BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $AC$ 的中点，证明： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CA = 6$ ， $CE = 3.6$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $OA$ 的长．

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难度：未知

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某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

题型：未知
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为加强安全教育，某校开展了"防溺水"安全知识竞赛，想了解七年级学生对"防溺水"安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和解析．部分信息如下：

$a$ ．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100)$ 如图所示

$b$ ．七年级参赛学生成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79

$c$ ．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

年级	平均数	中位数	众数
七	76.9	$m$	80

$d$ ．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有　　人；

（2）表中 $m$ 的值为　　；

（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第　　名；

（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

题型：未知
难度：未知

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