(本小题满分12分)已知数列的前n项和是,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,数列的前项和,证明.
(本小题满分10分)如图,已知△是边长为4的正三角形,是的中点,,分别是边,上的点,且,设.(Ⅰ)试将线段的长表示为的函数;(Ⅱ)设△的面积为,求的解析式,并求的最小值;(Ⅲ)若将折线绕直线旋转一周得到空间几何体,试问:该几何体的体积是否有最小值?若有,求出它的最小值;若没有,请说明理由.
(本小题满分9分)在平面直角坐标系中,过点作斜率为的直线,若直线与以为圆心的圆有两个不同的交点和.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数,使得向量与向量共线?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
(本小题满分9分)如图,在四棱锥中,侧面底面,侧面是边长为3的等边三角形,底面是正方形,是侧棱上的点,是底面对角线上的点,且,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求点到平面的距离.
(本小题满分8分)已知直线:.(Ⅰ)若直线的倾斜角,求实数的取值范围;(Ⅱ)若直线分别与轴,轴的正半轴交于,两点,是坐标原点,求△面积的最小值及此时直线的方程.
(本小题满分8分)已知函数.(Ⅰ)当时,解关于的不等式; (Ⅱ)当时,解关于的不等式.