(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和,且满足,,其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.(1)求椭圆的离心率;(2)求与的值;(3)当变化时,是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
A.选修4-1 几何证明选讲
如图,设 △ A B C 的外接圆的切线 A E 与 B C 的延长线交于点 E , ∠ B A C 的平分线与 B C 交于点 D .求证: E D 2 = E B · E C .
B.选修4-2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 x O y 中,设椭圆 4 x 2 + y 2 = 1 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 F ,求 F 的方程.
C.选修4-4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 x O y 中,点 P ( x , y ) 是椭圆 x 2 3 + y 2 = 1 上的一个动点,求 S = x + y 的最大值.
D.选修4-5 不等式证明选讲
设 a , b , c 为正实数,求证: 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 + a b c ≥ 2 3 .
若 f 1 ( x ) = 3 x - p 1 , f 2 ( x ) = 3 x - p 2 , x ∈ R , p 1 , p 2 为常数,且 f ( x ) = { f 1 ( x ) , f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) f 2 ( x ) , f 1 ( x ) > f 2 ( x ) . (Ⅰ)求 f ( x ) = f 1 ( x ) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p 1 , p 2 表示); (Ⅱ)设 a , b 为两实数, a < b 且 p 1 , p 2 ∈ ( a , b ) ,若 f ( a ) = f ( b ) ,求证: f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的单调增区间的长度和为 b - a 2 (闭区间 [ m , n ] 的长度定义为 n - m ).
(I)设 a 1 , a 2 , … a n 是各项均不为零的等差数列 n ≥ 4 ,且公差 d ≠ 0 ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n = 4 时,求 a 1 d 的数值;②求 n 的所有可能值; (II)求证:对于一个给定的正整数 n ≥ 4 ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b 1 , b 2 … … b n ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。
设平面直角坐标系 x o y 中,设二次函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + b ( x ∈ R ) 的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C 。 (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。
某地有三家工厂,分别位于矩形 A B C D 的顶点 A , B ,及 C D 的中点 P 处,已知 A B = 20 k m , C D = 10 k m ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 A B C D 的区域上(含边界),且 A , B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 A O , B O , O P ,设排污管道的总长为 y k m 。 (I)按下列要求写出函数关系式: ①设 ∠ B A O = θ r a d ,将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 O P = x k m ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。