(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和,且满足,,其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.(1)求椭圆的离心率;(2)求与的值;(3)当变化时,是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
(本小题共13分)设集合,对于,记且,由所有组成的集合设为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设集合,对任意,试求;(Ⅲ)设,试求的概率.
(本小题共14分)已知椭圆和圆:,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为.(Ⅰ)(ⅰ)若圆过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率;(ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求椭圆离心率的取值范围;(Ⅱ)设直线与轴、轴分别交于点,,求证:为定值.
(本小题共14分)设函数().(Ⅰ)当时,求的极值;(Ⅱ)当时,求的单调区间.
(本小题共13分)某学校高一年级开设了五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.(Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;(Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率;(Ⅲ)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数,求的分布列与数学期望.
(本小题共14分)正方体的棱长为,是与的交点,是上一点,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.