(本小题12分)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.(1)求双曲线方程;(2)若点在双曲线上,求证:;(3)对于(2)中的点,求的面积.
(本小题满分14分)已知函数,,.(Ⅰ)求的最大值;(Ⅱ)若对,总存在使得成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)证明不等式:.
(本小题满分15分)等比数列的前项和,已知,,,成等差数列.(Ⅰ)求数列的公比和通项;(Ⅱ)若是递增数列,令,求.
(本小题满分15分)如图甲,是边长为6的等边三角形,,分别为、靠近、的三等分点,点为边的中点.线段交线段于点,将沿翻折,使平面⊥平面,连接、、形成如图乙所示的几何体.(Ⅰ)求证⊥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(本小题满分15分)己知函数在处取最小值.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)在中,、、分别是、、的对边,已知,,,求角.
(本小题满分15分)己知⊙O:,为⊙O上动点,过作轴于,为上一点,且.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)若,,过的直线与曲线相交于、两点,则是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.