如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD=4，求CD的长．
在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于点 （点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，连接 ．
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）如图1，点 在线段 上（点 不与点 重合），点 在 轴负半轴上， ，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ， ，当 取最大值时，求 的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为 ，连接 ，点 在第一象限的抛物线上， 与 相交于点 ，是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在 中， 是 上一点， ．求证 ．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长 至点 ，使 ， 与 的延长线相交于点 ，点 分别在 上， ．在图中找出与 相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 时，若给出 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若 ，求 的长．”
如图，在 中， ， ，点 在 上， ，连接 ， ，点 是边 上一动点（点 不与点 重合），过点 作 的垂线，与 相交于点 ，连接 ，设 ， 与 重叠部分的面积为 ．
（1）求 的长；
（2）求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围．
是 的直径， 是 上一点， ，垂足为 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ．
（1）如图1，求证 ；
（2）如图2，连接 ，若 的半径为 ， ，求 的长．
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