已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P，设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
 
（1）当与的夹角为，且△POF的面积为时，求椭圆C的方程；
（2）当时，求当取到最大值时椭圆的离心率．