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先化简，再求值： ${(2 x + 1)}^{2} - 2 (x - 1) (x + 3) - 2$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价 $P$ （单位：元 $/$ 千克）与时间 $x$ （单位：月份）满足关系： $P = 9 - x$ ；

②该蔬菜的平均成本 $y$ （单位：元 $/$ 千克）与时间 $x$ （单位：月份）满足二次函数关系 $y = a x^{2} + bx + 10$ ．

已知4月份的平均成本为2元 $/$ 千克，6月份的平均成本为1元 $/$ 千克．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润 $L$ （单位：元 $/$ 千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润 $=$ 销售单价 $-$ 平均成本）

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随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗 $1 L$ 的情况下，所行驶的路程（单位： $km)$ 进行统计分析，结果如图所示：

（注：记 $A$ 为 $12 ~ 12.5$ ， $B$ 为 $12.5 ~ 13$ ， $C$ 为 $13 ~ 13.5$ ， $D$ 为 $13.5 ~ 14$ ， $E$ 为 $14 ~ 14.5)$

请依据统计结果回答以下问题：

（1）试求进行该试验的车辆数；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油 $1 L$ 的情况下可以行驶 $13 km$ 以上？

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - m^{2} = 0$

（1）求证：该方程有两个不等的实根；

（2）若该方程的两实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + 2 x_{2} = 9$ ，求 $m$ 的值．

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已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x ⩽ 8 - \frac{3}{2} x + 2 a \end{matrix}$ 恰好有两个整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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