某高中有高级教师96人,中级教师144人,初级教师48人,为了进一步推进高中课程改革,邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流,选出的6名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研。(1)求应从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人;(2)若甲专家选取了两名教师,这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率;(3)若每位专家只抽一名教师,每位教师只与其中一位专家交流,求高级教师恰有一人被抽到的概率。
已知函数 f ( x ) = x 3 + 3 a x 2 + 3 x + 1 .
(I)当 a = - 2 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 x ∈ [ 2 , + ∞ ) 时, f ( x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 1 2 各局比赛的结果都相互独立,第局甲当裁判. (I)求第局甲当裁判的概率; (II)求前局中乙恰好当次裁判概率.
如图,四棱锥 P - A B C D 中, ∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° , B C = 2 A D , △ P A B 与 △ P A D 都是边长为2的等边三角形.
(I)证明: P B ⊥ C D
(II)求点 A 到平面 P C D 的距离.
设 △ A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , ( a + b + c ) ( a - b + c ) = a c . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 sin A sin C = 3 - 1 4 ,求 C .
等差数列 a n 中, a 7 = 4 , a 19 = 2 a 9 .
(I)求 a n 的通项公式; (II)设 b n = 1 n a n ,求数列 b n 的前 n 项和 S n .