学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题．
（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？
（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；
（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率．

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如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于 $A (1, a)$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 在第四象限， $BC / / x$ 轴．

（1）求 $k$ 的值；

（2）以 $AB$ 、 $BC$ 为边作菱形 $ABCD$ ，求 $D$ 点坐标．

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如图， $AB = AE$ ， $AB / / DE$ ， $∠ DAB = 70 °$ ， $∠ E = 40 °$ ．

（1）求 $∠ DAE$ 的度数；

（2）若 $∠ B = 30 °$ ，求证： $AD = BC$ ．

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如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 $AB$ 的楼顶，测量对面的乙栋楼房 $CD$ 的高度．已知甲栋楼房 $AB$ 与乙栋楼房 $CD$ 的水平距离 $AC = 18 \sqrt{3}$ 米，小丽在甲栋楼房顶部 $B$ 点，测得乙栋楼房顶部 $D$ 点的仰角是 $30 °$ ，底部 $C$ 点的俯角是 $45 °$ ，求乙栋楼房 $CD$ 的高度（结果保留根号）．

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先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 经过点 $C (6, 0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x = 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $BC$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $BC$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $MP$ ，以点 $M$ 为中心，将 $ΔMPC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $EF$ 与抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $ΔMPC$ 在（2）的旋转变换下，若 $PC = \sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $EA = ED$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $CM$ 的长．

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