如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪, 图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设(x≥0),,求用表示的函数关系式,并求函数的定义域;(2).如果是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,的位置应在哪里?如果是参观线路,则希望它最长,的位置又应在哪里?请予证明.
已知点(,是常数),且动点到轴的距离比到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程; (2)(i)已知点,若曲线上存在不同两点、满足,求实数的取值范围; (ii)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
设函数. (1)研究函数的极值点; (2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围; (3)证明:.
如图,长方体中,为中点. (1)求证:; (2)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由; (3)若二面角的大小为,求的长.
已知数列、中,,且当时,,.记的阶乘. (1)求数列的通项公式; (2)求证:数列为等差数列; (3)若,求的前项和.
一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为的函数:,,,,,. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.