求方程的解有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程

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求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为_ __ ．

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观察下列等式
1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

......

照此规律，第 $n$ 个等式为

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设 $n \in N^{*}$ ，一元二次方程 $x^{2} - 4 x + n = 0$ 有整数根的充要条件是 $n =$ .

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设 $f (x) = \{\begin{cases} l g x, x > 0 \\ x + \int_{0}^{a} 3 t^{2} d x \end{cases}, x \leq 0$ ，若 $f (f (1)) = 1$ ，则 $a =$ .

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用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从这个实事中提炼出一个不等式组：．

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在实数数列中，已知，，，…，，则的最大值为______________．

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