已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。（

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。
（1）求数列、的通项公式;
（2）令.
①求证:；
②若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.

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已知、均为锐角，且的值.

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数列 $\{a_{n}\}$ 足： $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}, n \in N^{+}$ ．
（1）求 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
（3）令 $b_{1} = a_{1}, b_{n} = \frac{T_{n} - 1}{n} + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) a_{n} (n \geq 2)$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} < 2 + 2 \ln n$ ．

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已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L : y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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设 $a ＞ 1$ ，函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - a$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上仅有一个零点；
（3）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M (m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行，（ $O$ 是坐标原点），证明： $m \leq \sqrt[3]{a - \frac{2}{e}} ﹣ 1$ ．

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如图，三角形 $△ P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 、 $G$ 分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上，且 $A F = 2 F B$ ， $C G = 2 G B$ ．

（1）证明： $P E ⊥ F G$ ；
（2）求二面角 $P - A D - C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

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