已知函数$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+ax+1(a\in R)$.
（1）求函数$f\left(x\right)$的单调区间；
（2）当$a<0$时，试讨论是否存在$x_0\in (0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)$，使得$f\left(x_0\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$.