已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的一个焦点为$\left(\sqrt{5},0\right)$,离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）若动点$P\left(x_0,y_0\right)$为椭圆$C$外一点,且点$P$到椭圆$C$的两条切线相互垂直,求点$P$的轨迹方程.