在平面直角坐标系$xOy$中,椭圆$C$的中心为原点，焦点$F_1,F_2$在$x$轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.过$F_1$的直线$L$交$C$于$A,B$两点,且$∆AB{F}_2$的周长为16,那么$C$的方程为.