已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证:△ABC是直角三角形.
阅读材料:基本不等式 ab ⩽ a + b 2 ( a > 0 , b > 0 ) ,当且仅当 a = b 时,等号成立.其中我们把 a + b 2 叫做正数 a 、 b 的算术平均数, ab 叫做正数 a 、 b 的几何平均数,它是解决最大(小 ) 值问题的有力工具.
例如:在 x > 0 的条件下,当 x 为何值时, x + 1 x 有最小值,最小值是多少?
解: ∵ x > 0 , 1 x > 0 ∴ x + 1 x 2 ⩾ x ⋅ 1 x 即是 x + 1 x ⩾ 2 x ⋅ 1 x
∴ x + 1 x ⩾ 2
当且仅当 x = 1 x 即 x = 1 时, x + 1 x 有最小值,最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
(1)若 x > 0 ,函数 y = 2 x + 1 x ,当 x 为何值时,函数有最值,并求出其最值.
(2)当 x > 0 时,式子 x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 ⩾ 2 成立吗?请说明理由.
已知: ΔABC 内接于 ⊙ O , AB 是 ⊙ O 的直径,作 EG ⊥ AB 于 H ,交 BC 于 F ,延长 GE 交直线 MC 于 D ,且 ∠ MCA = ∠ B ,求证:
(1) MC 是 ⊙ O 的切线;
(2) ΔDCF 是等腰三角形.
▱ ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线 y 1 = kx + b 与双曲线 y 2 = m x ( m > 0 ) 在第一象限的图象相交于 A 、 E 两点,且 A ( 3 , 4 ) , E 是 BC 的中点.
(1)连接 OE ,若 ΔABE 的面积为 S 1 , ΔOCE 的面积为 S 2 ,则 S 1 = S 2 (直接填“ > ”“ < ”或“ = ” ) ;
(2)求 y 1 和 y 2 的解析式;
(3)请直接写出当 x 取何值时 y 1 > y 2 .
西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查(被调查学生每人只能选一项),并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图,根据统计图提供的信息解答下列问题:
(1) 年抽取的调查人数最少; 年抽取的调查人数中男生、女生人数相等;
(2)求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角 α 的度数;
(3)2017年抽取的学生中,喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人?
(4)如果2017年全市共有3.4万名中学生,请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人?
在 ▱ ABCD 中, E 、 F 分别是 AD 、 BC 上的点,将平行四边形 ABCD 沿 EF 所在直线翻折,使点 B 与点 D 重合,且点 A 落在点 A ' 处.
(1)求证:△ A ' ED ≅ ΔCFD ;
(2)连接 BE ,若 ∠ EBF = 60 ° , EF = 3 ,求四边形 BFDE 的面积.