在平面直角坐标系中,圆的参数方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求:(1)圆的直角坐标方程;(2)圆的极坐标方程.
设 f ( x ) 使定义在区间 ( 1 , + ∞ ) 上的函数,其导函数为 f ` ( x ) .如果存在实数 a 和函数 h ( x ) ,其中 h ( x ) 对任意的 x ∈ ( 1 , + ∞ ) 都有 h ( x ) > 0 ,使得 f ` ( x ) = h ( x ) ( x 2 - a x + 1 ) ,则称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) . (1)设函数 f ( x ) = h ( x ) + b + 2 x + 1 ( x > 1 ) ,其中 b 为实数 ①求证:函数 f ( x ) 具有性质 P ( b ) ;
②求函数 f ( x ) 的单调区间 (2)已知函数 g ( x ) 具有性质 P ( 2 ) ,给定 x 1 , x 2 ∈ ( 1 , + ∞ ) , x 1 < x 2 ,设 m 为实数. α = m x 1 + ( 1 - m ) x 2 , β = ( 1 - m ) x 1 + m x 2 ,且 α > 1 , β > 1 ,若 g ( α ) - g ( β ) < g ( x 1 ) - g ( x 2 ) ,求 m 的取值范围
设各项均为正数的数列 a n 的前 n 项和为 S n ,已知 2 a 2 = a 1 + a 3 ,数列 S n 是公差为 d 的等差数列. ①求数列 a n 的通项公式(用 n , d 表示) ②设 c 为实数,对满足 m + n = 3 k 且 m ≠ n 的任意正整数 m , n , k ,不等式 S m + S n > c S k 都成立。求证: c 的最大值为 9 2
在平面直角坐标系 x O y 中,如图,已知椭圆 x 2 9 + y 2 5 = 1 的左右顶点为 A , B ,右顶点为 F ,设过点 T ( t , m ) 的直线 T A , T B 与椭圆分别交于点 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m > 0 , y 1 > 0 , y 2 < 0
①设动点 P 满足 P F 2 - P B 2 = 4 ,求点 P 的轨迹 ②设 x 1 = 2 , x 2 = 1 3 ,求点 T 的坐标 ③设 t = 9 ,求证:直线 M N 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)
某兴趣小组测量电视塔 A E 的高度 H (单位 m ),如示意图,垂直放置的标杆 B C 高度 h = 4 m ,仰角 ∠ A B E = α , ∠ A D E = β .
(1)该小组已经测得一组 α , β 的值, tan α = 1 . 24 , tan β = 1 . 20 ,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位 m ),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125 m ,问 d 为多少时, α - β 最大.
如图,四棱锥 P - A B C D 中, P D ⊥ 平面 A B C D , P D = D C = B C = 1 , A b = 2 , A B ∥ D C , ∠ B C D = 90 ° .
(1)求证: P C ⊥ B C
(2)求点 A 到平面 P B C 的距离.