如图,椭圆 (a>b>0)的上、下顶点分别为A、B,已知点B在直线l:上,且椭圆的离心率e =.(1)求椭圆的标准方程;(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PQ⊥y轴,Q为垂足,M为线段PQ中点,直线AM交直线l于点C,N为线段BC的中点,求证:OM⊥MN.
(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于为.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)设椭圆的短半轴长为,圆与轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值.
(本小题满分13分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数的反函数为,定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”.(1)判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;(2)若,其中满足“2和性质”,则是否存在实数a,使得对任意的恒成立?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)若关于的实系数方程有两个根,一个根在区间内,另一根在区间内,记点对应的区域为.(1)设,求的取值范围;(2)过点的一束光线,射到轴被反射后经过区域,求反射光线所在直线经过区域内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线的方程.
(本小题满分11分)(注意:在试题卷上作答无效)已知为坐标原点,向量,点是直线上的一点,且点分有向线段的比为.(1)记函数,,讨论函数的单调性,并求其值域;(2)若三点共线,求的值.
(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)已知等比数列中,,分别为的三内角的对边,且.(1)求数列的公比;(2)设集合,且,求数列的通项公式.