已知椭圆:的离心率为,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点(点在第一象限).(1)求椭圆的方程;(2)已知为椭圆的左顶点,平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称,并说明理由.
数列 a n 足: a 1 + 2 a 2 + … + n a n = 4 - n + 2 2 n - 1 , n ∈ N + . (1)求 a 3 的值; (2)求数列 a n 的前 n 项和 T n ; (3)令 b 1 = a 1 , b n = T n - 1 n + 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n a n n ≥ 2 ,证明:数列 b n 的前 n 项和 S n 满足 S n < 2 + 2 ln n .
已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C 1 的圆心坐标; (2)求线段 A B 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k x - 4 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
设 a > 1 ,函数 f ( x ) = ( 1 + x 2 ) e x - a . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明 f ( x ) 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上仅有一个零点; (3)若曲线 y = f ( x ) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M ( m , n ) 处的切线与直线 O P 平行,( O 是坐标原点),证明: m ≤ a - 2 e 3 ﹣ 1 .
如图,三角形 △ P D C 所在的平面与长方形 A B C D 所在的平面垂直, P D = P C = 4 , A B = 6 , B C = 3 ,点 E 是 C D 的中点,点 F 、 G 分别在线段 A B 、 B C 上,且 A F = 2 F B , C G = 2 G B .
(1)证明: P E ⊥ F G ; (2)求二面角 P - A D - C 的正切值; (3)求直线 P A 与直线 F G 所成角的余弦值.
某工厂36名工人年龄数据如图:
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 x ¯ 和方差 s 2 ; (3)36名工人中年龄在 x ¯ ﹣ s 和 x ¯ + s 之间有多少人?所占百分比是多少(精确到 0 . 01 % )?