右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________.
设椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左焦点为 F ,上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为 5 5 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点 P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点,点 N 在 y 轴的负半轴上.若 | ON | = | OF | ( O 为原点),且 OP ⊥ MN ,求直线 PB 的斜率.
如图, AE ⊥ 平面 ABCD , CF ∥ AE , AD ∥ BC , AD ⊥ AB , AB = AD = 1 , AE = BC = 2 .
(Ⅰ)求证: BF ∥ 平面 ADE ;
(Ⅱ)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角 E - BD - F 的余弦值为 1 3 ,求线段 CF 的长.
设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用 X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量 X 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设 M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件 M 发生的概率.
在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB = 2 3 , AD = 5 , ∠ A = 30 ° ,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE = BE ,则 BD ⃗ ⋅ AE ⃗ = _____________.
设 x > 0 , y > 0 , x + 2 y = 5 ,则 ( x + 1 ) ( 2 y + 1 ) xy 的最小值为_____________.