某校高一年级名学生参加数学竞赛,成绩全部在分至分之间,现将成绩分成以下段:,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求成绩在区间的频率;(2)从成绩大于等于分的学生中随机选名学生,其中成绩在内的学生人数为,求的分布列与均值.
设函数 f ( x ) = a cos 2 x + ( a - 1 ) ( cos x + 1 ) ,其中 a > 0 ,记 | f ( x ) | 的最大值为 A .
(Ⅰ)求 f ' ( x ) ;
(Ⅱ)求 A ;
(Ⅲ)证明: | f ' ( x ) | ⩽ 2 A .
已知抛物线 C : y 2 = 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A , B 两点,交 C 的准线于 P , Q 两点.
(Ⅰ)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR / / FQ ;
(Ⅱ)若 ΔPQF 的面积是 ΔABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.
如图,四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD , AD / / BC , AB = AD = AC = 3 , PA = BC = 4 , M 为线段 AD 上一点, AM = 2 MD , N 为 PC 的中点.
(1)证明: MN / / 平面 PAB ;
(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码 1 - 7 分别对应年份 2008 - 2014 .
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以证明;
(Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0 . 01 ) ,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据: ∑ i = 1 7 y i = 9 . 32 , ∑ i = 1 7 t i y i = 40 . 17 , ∑ i = 1 7 ( y i - y ̅ ) 2 = 0 . 55 , 7 ≈ 2 . 646 .
参考公式:相关系数 r = ∑ i = 1 n ( t i - t ̅ ) ( y i - y ̅ ) ∑ i = 1 n ( t i - t ̅ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i - y ̅ ) 2 ,
回归方程 y ̂ = a ̂ + b ̂ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b ̂ = ∑ i = 1 n ( t i - t ̅ ) ( y i - y ̅ ) ∑ i = 1 n ( t i - t ̅ ) 2 , a ̂ = y ̅ - b ̂ t ̅ .
已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 1 + λ a n ,其中 λ ≠ 0 .
(1)证明 { a n } 是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 S 5 = 31 32 ,求 λ .