如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B₁E⊥AD₁.
(2)在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，求AB的长．

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如图，已知 $A P$ 是 $⊙ O$ 的切线， $P$ 为切点， $A C$ 是⊙O的割线，与 $⊙ O$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，圆心 $O$ 在 $∠ P A C$ 的内部，点 $M$ 是 $B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明 $A, P, O, M$ 四点共圆；
（Ⅱ）求 $∠ O A M ＋ ∠ A P M$ 的大小.

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（Ⅰ）若当 $x = - 1$ 时 $f (x)$ 取得极值，求 $a$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；
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（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表： $P (k) = \sum_{i = 0}^{λ} C_{10000}^{1} \times 0 . 25^{λ} \times 0 . 75^{10000 - i}$

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在平面直角坐标系 $x o y$ 中，经过点 $(0, \sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .
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（Ⅱ）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\underset{O P}{\to} + \underset{O Q}{\to}$ 与 $\underset{A B}{\to}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

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如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中, 侧面 $S A B$ 与侧面 $S A C$ 均为等边三角形, $∠ B A C = 90^{°}$ , $O$ 为 $B C$ 中点.
（Ⅰ）证明： $S O ⊥$ 平面 $A B C$

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