已知平面直角坐标系,以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,曲线的极坐标方程为(1)写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程;(2)若为曲线上的动点,求中点到直线(为参数)距离的最小值.
如图,抛物线 C 1 : x 2 = 4 y , C 2 : x 2 = - 2 p y p > 0 ,点 M x 0 , y 0 在抛物线 C 2 上,过 M 作 C 1 的切线,切点为 A , B ( M 为原点 O 时, A , B 重合于 O ).当 x 0 = 1 - 2 时,切线 M A 的斜率为 - 1 2 .
(I)求 p 的值; (II)当 M 在 C 2 上运动时,求线段 A B 中点 N 的轨迹方程( A , B 重合于 O 时,中点为 O ).
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (I)求张同学至少取到1道乙类题的概率; (II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 3 5 ,答对每道乙类题的概率都是 4 5 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望.
如图, A B 是圆的直径, P A 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点.
(I)求证平面 P A C ⊥ 平面 P B C ; (II)若 A B = 2 , A C = 1 , P A = 1 ,求证:二面角 C - P B - A 的余弦值.
设向量 a = 3 sin x , sin x , b = cos x , sin x , x ∈ 0 , π 2 .
(I)若 a = b ,求 x 的值.
(II)设函数 f ( x ) = a ⇀ · b ⇀ ,求 f ( x ) 的最大值.
已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x - a x + 2 a . (I)记 f ( x ) 在区间 [ 0 , 4 ] 上的最大值为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y = f ( x ) 在区间 ( 0 , 4 ) 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.