已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. 注：是自然对数的底数.

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数 $f (x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像.当 $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，求 $g (x)$ 的值域.

题型：解答题
难度：较难

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随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号 $t$	1	2	3	4	5
储蓄存款 $y$ （千亿元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求 $y$ 关于 $t$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$

（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（ $t = 6$ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ 中 $\{\begin{cases} b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n x^{2}} \\ a = y - b x \end{cases}$

题型：解答题
难度：较易

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3}$ =2，前3项和 $S_{3}$ = $\frac{9}{2}$ .
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，
（Ⅱ）设等比数列满足 $b_{1}$ = $a_{1}$ ， $b_{4}$ = $a_{15}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

题型：解答题
难度：中等

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在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3, a_{n + 1} a_{n} + λ a_{n + 1} + μ {a_{n}}^{2} = 0 (n \in N *)$

（1）若 $λ = 0, μ = - 2$ 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $λ = \frac{1}{k^{o}} (k_{o} \in N *, k_{o} \geq 2), μ = - 1$ 证明： $2 + \frac{1}{3 k_{o} + 1} < a_{k_{o} + 1} < 2 + \frac{1}{2 k_{o} + 1}$

题型：解答题
难度：中等

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如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P F_{1}$ .

（1）若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2}, |P F_{2}| = 2 - \sqrt{2}$ ，求椭圆的标准方程;
（2）若 $|P F_{1}| = |P Q|$ 求椭圆的离心率 $e$ .

题型：解答题
难度：中等

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