已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.⑴求证：数列是等差数

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
⑴求证：数列是等差数列；
⑵设，求证：；
⑶设，，求.

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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A = \frac{2}{3}$ ， $\sin B = \sqrt{5} \cos C$ ．
(1)求 $\tan C$ 的值；
(2)若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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已知 $a > 0, b \in R$ ,函数 $f (x) = 4 a x^{3} - 2 b x - a + b$ ．
(Ⅰ)证明:当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
(ⅰ)函数 $f (x)$ 的最大值为 $| 2 a - b | + a$ ；

(ⅱ) $f (x) + |2 a - b| + a ⩾ 0$ ；
(Ⅱ) 若 $- 1 \leq f (x) \leq 1$ 对 $x \in$ [0,1]恒成立,求 $a ＋ b$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O P$ 平分．

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；
(Ⅱ) 求 $∆ A B P$ 的面积取最大时直线 $l$ 的方程．

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形，且 $∠ B A D ＝ 120 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ＝ 2 \sqrt{6}$ ， $M, N$ 分别为 $P B, P D$ 的中点．

(1)证明： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
(2) 过点 $A$ 作 $A Q ⊥ P C$ ，垂足为点 $Q$ ，求二面角 $A - M N - Q$ 的平面角的余弦值．

题型：未知
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已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量 $X$ 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求 $X$ 的分布列；
(Ⅱ)求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ．

题型：未知
难度：未知

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