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某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需 $A$ 种原料1.2千克、 $B$ 种原料1千克．已知 $A$ 种原料每千克的价格比 $B$ 种原料每千克的价格多10元．

（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的 $B$ 种原料每千克的价格最高不超过多少元？

（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？

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某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）表中的 $a =$ 　　，将频数分布直方图补全；

（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？

（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{3 - x}) \div \frac{2}{x - 3}$ ，其中， $x = \sqrt{3} - 3$ ．

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解不等式组： $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 1) ⩾ 5 \\ \frac{x - 3}{5} - 1 < \frac{x + 1}{2} \end{matrix}$

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在边长为2的等边三角形 $ABC$ 中， $P$ 是 $BC$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ AB$ ， $PN ⊥ AC$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $BC$ 边的何处时都有 $PM + PN$ 的长恰好等于三角形 $ABC$ 一边上的高；

（2）当 $BP$ 的长为何值时，四边形 $AMPN$ 的面积最大，并求出最大值．

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