已知函数.（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（

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已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

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在 $Δ ABC$ 中, $a^{2} + c^{2} = b^{2} + \sqrt{2} ac$ .

(1) 求 $∠ B$ 的大小;

(2) 求 $\sqrt{2} \cos A + \cos C$ 的最大值.

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已知 $f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a) .$

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

（2）若 $x \in (- \infty, 1)$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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在极坐标系中，O为极点，点 $M (ρ_{0}, θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C : ρ = 4 \sin θ$ 上，直线l过点 $A (4, 0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为P.

（1）当 $θ_{0} = \frac{π}{3}$ 时，求 $ρ_{0}$ 及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

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已知点 A(−2,0)， B(2,0)，动点 M( x, y)满足直线 AM与 BM的斜率之积为− $\frac{1}{2}$ .记 M的轨迹为曲线 C.

（1）求 C的方程，并说明 C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交 C于 P， Q两点，点 P在第一象限， PE⊥ x轴，垂足为 E，连结 QE并延长交 C于点 G.

（i）证明： $△ PQG$ 是直角三角形；

（ii）求 $△ PQG$ 面积的最大值.

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已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ .

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀，ln x₀)处的切线也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线.

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