已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线（为参数）与曲线C交于，两点，与轴交于，求的值．

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如图， $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直圆所在的平面， $C$ 是圆上的点.

（I）求证平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ;
（II）若 $A B = 2, A C = 1, P A = 1$ ，求证:二面角 $C - P B - A$ 的余弦值.

题型：未知
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设向量 $a = (\sqrt{3} \sin x, \sin x)$ , $b = (\cos x, \sin x)$ , $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

（I）若 $|a| = |b|$ ,求 $x$ 的值.

（II）设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ,求 $f (x)$ 的最大值.

题型：未知
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已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = |\frac{x - a}{x + 2 a}|$ .
（I）记 $f (x)$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ,求 $g (a)$ 的表达式；
（II）是否存在 $a$ ，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$ ,且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $A, B$ , $l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $C, D$ .以 $A B, C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N$ （ $M, N$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$ .
（I）若 $k_{1} > 0, k_{2} > 0$ ,证明； $\overset{⇀}{F M} \cdot \overset{⇀}{F N} < 2 p^{2}$ ；
（II）若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ ,求抛物线 $E$ 的方程.

题型：未知
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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径成为 $M$ 到 $N$ 的一条" $L$ 路径"。如图所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N 与路径 M N_{1} N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的" $L$ 路径"。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $x O y$ 内三点 $A (3, 20), B (- 10, 0), C (14, 0)$ 处。现计划在 $x$ 轴上方区域（包含x轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心。

（I）写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的" $L$ 路径"长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，" $L$ 路径"不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的" $L$ 路径"长度值和最小。

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