已知：正方形ABCD中，∠MAN45°，∠MAN绕点A顺时针

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象在第二象限交于 $A (- 3, m)$ ， $B (n, 2)$ 两点．

（1）当 $m = 1$ 时，求一次函数的解析式；

（2）若点 $E$ 在 $x$ 轴上，满足 $∠ AEB = 90 °$ ，且 $AE = 2 - m$ ，求反比例函数的解析式．

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（1）求证： $AB / / CD$ ；

（2）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）求 $\tan ∠ ACB$ 的值．

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为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有 $A$ 、 $B$ 两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：

$A$ 加工厂	74	75	75	75	73	77	78	72	76	75
$B$ 加工厂	78	74	78	73	74	75	74	74	75	75

（1）根据表中数据，求 $A$ 加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；

（2）估计 $B$ 加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？

（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？

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4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．

甲书店：所有书籍按标价8折出售；

乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．

（1）以 $x$ （单位：元）表示标价总额， $y$ （单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？

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（1）计算： $| \sqrt{5} - 3 | + 2 \sqrt{5} \cos 60 ° - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{8} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{0}$ ．

（2）先化简，再求值： $(x + 2 + \frac{3}{x - 2}) \div \frac{1 + 2 x + x^{2}}{x - 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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