已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.
（1）当OC=
时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。
如图①， 、 是等腰 的斜边 上的两动点， ， 且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图②，作 ，垂足为 ，设 ， ，不妨设 ，请利用（2）的结论证明：当 时， 成立．
如图，点 在以 为直径的 上， 的角平分线与 相交于点 ，与 相交于点 ，延长 至 ，连结 ，使得 ，过点 作 的平行线与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）试给出 、 、 之间的数量关系，并予以证明．
为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．
我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 处时，在 处测得 点的仰角 为 且 与 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 处，此时在 处测得 点的仰角 为 ，求天舟二号从 处到 处的平均速度．（结果精确到 ，取 ，
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