设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 = 4 S 2 , a 2 n = 2 a n + 1 . (Ⅰ)求数列 a n 的通项公式; (Ⅱ)设数列 b n 满足 b 1 a 1 + b 2 a 2 + … + b n a n = 1 - 1 2 n n ∈ N ，求 b n 的前 n 项和 T n .
已知抛物线，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为3，且点到准线的距离为5. （1）求抛物线的方程； （2）若为抛物线上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
已知命题不等式的解集为，命题是减函数.若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.
已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，都有解，求的取值范围； （3）若，试证明：对任意，恒成立．
（1）设，，证明； （2）设，证明．
已知椭圆（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．
，焦点为
，准线为
，抛物线
上一点
的横坐标为3，且点
为抛物线
的中点
的轨迹方程.
不等式
的解集为
，命题
是减函数.若
或
为真命题，
的取值范围.
（其中
，
是自然对数的底数），
为
导函数．
时，求曲线
在点
处的切线方程；
时，
都有解，求
的取值范围；
，试证明：对任意
，
恒成立．
，
，证明
；
，证明
．
（
）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
为椭圆
的直线
与椭圆
和
，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围．
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