函数 $f\left(x\right)={\log }_2(1+\frac{1}{x})(x>0)$的反函数 $f^{-1}\left(x\right)$=（   ）

A．

$\frac{1}{2^x-1}(x>0)$

B．

$\frac{1}{2^x-1}(x\ne 0)$

C．

$2^x-1(x\in R)$

D．

$2^x-1(x>0)$