已知事件"在矩形 $ABCD$的边 $CD$上随机取一点 $P$，使 $△APB$的最大边是 $AB$"发生的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\frac{AD}{AB}$=（  ）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{7}}{4}$