直线 y = k x + m m ≠ 0 与椭圆 W : x 2 4 + y 2 = 1 相交于 A , C 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)当点 B 的坐标为 0 , 1 ,且四边形 O A B C 为菱形时,求 A C 的长; (Ⅱ)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 O A B C 不可能为菱形.
(本小题共13分) 已知函数R). (Ⅰ)求函数的定义域,并讨论函数的单调性; (Ⅱ)问是否存在实数,使得函数在区间上取得最小值3?请说明理由.
(本小题共14分) 如图,在四棱柱中,底面是正方形,侧棱与底面垂直,点是正方形对角线的交点,,点,分别在和上,且. (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)若,求的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角的余弦值.
(本小题共13分) 某单位在2011新年联欢会上举行一个抽奖活动:甲箱中装有3个红球,2个黑球,乙箱中装有2个红球4个黑球,参加活动者从这两个箱子中分别摸出1个球,如果摸到的都是红球则获奖. (Ⅰ)求每个活动参加者获奖的概率; (Ⅱ)某办公室共有5人,每人抽奖1次,求这5人中至少有3人获奖的概率.
(本小题共13分) 已知函数,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)当时,求函数的值域.
(本小题14分)已知数列为等差数列,,,数列的前项和为,且有 (1)求、的通项公式; (2)若,的前项和为,求; (3)试比较与的大小,并说明理由.