，其中
，
。问题呈现：
如图1，点 、 、 、 分别在矩形 的边 、 、 、 上， ，求证： ．（ 表示面积）
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中 ，点 在 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 、 作 边的平行线，再分别过点 、 作 边的平行线，四条平行线分别相交于点 、 、 、 ，得到矩形 ．
如图2，当 时，若将点 向点 靠近 ，经过探索，发现： ．
如图3，当 时，若将点 向点 靠近 ，请探索 、 与 之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点 、 、 、 分别是面积为25的正方形 各边上的点，已知 ， ， ， ，求 的长．
（2）如图5，在矩形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 、 ，请直接写出四边形 面积的最大值．
如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，且与 轴交于点 ，连接 、 、 ．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断 的形状；若 的外接圆记为 ，请直接写出圆心 的坐标；
（3）若将抛物线沿射线 方向平移，平移后点 、 、 的对应点分别记为点 、 、 ，△ 的外接圆记为 ，是否存在某个位置，使 经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
如图，湿地景区岸边有三个观景台 、 、 ．已知 米， 米， 点位于 点的南偏西 方向， 点位于 点的南偏东 方向．
（1）求 的面积；
（2）景区规划在线段 的中点 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 ．试求 、 间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据： ， ， ， ， ， ， ．
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