将边长为的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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将边长为的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

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设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1 - a}{2} x^{2} - b x (a \neq 1)$ ，曲线 $y = f (x) 在点 (1, f (1))$ 处的切线斜率为0
求 $b$ ;若存在 $x_{0} \geq 1$ 使得 $f (x_{0}) < \frac{a}{a - 1}$ ，求 $a$ 的取值范围。

题型：未知
难度：未知

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已知点 $P (2, 2)$ ,圆 $C$ : $x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ ,过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点,线段 $A B$ 的中点为 $M$ , $O$ 为坐标原点.
(1)求 $M$ 的轨迹方程
(2)当 $|O P| = |O M|$ 时,求 $l$ 的方程及 $∆ P O M$ 的面积

题型：未知
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如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

（1）证明： $B_{1} C ⊥ A B$

（2）若 $A C ⊥ A B_{1}$ , $∠ C B B_{1} = 60^{°}, B C = 1$ 求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高.

题型：未知
难度：未知

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从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组	[75，85)	[85，95)	[95，105)	[105，115)	[115，125)
频数	6	26	38	22	8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%"的规定？

题型：未知
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已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等差数列， $a_{2}$ , $a_{4}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根。
（I）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和.

题型：未知
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