如图,在ABCD中,E、F为对角线BD上的两点,且∠BAE=∠DCF.求证:BE=DF.
(1)问题如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD•BC=AP•BP.(2)探究如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.
(本小题满分11分) 如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE. (1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明; (3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
(本小题满分10分) 问题提出:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? 问题探究:不妨假设能搭成种不同的等腰三角形,为探究之间的关系,我们可以从特殊入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论. 探究一: (1)用3根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形? 此时,显然能搭成一种等腰三角形。所以,当时, (2)用4根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形? 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形 所以,当时, (3)用5根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形 所以,当时, (4)用6根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形 所以,当时, 综上所述,可得表①
探究二: (1)用7根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? (仿照上述探究方法,写出解答过程,并把结果填在表②中) (2)分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? (只需把结果填在表②中)
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…… 解决问题:用根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? (设分别等于、、、,其中是整数,把结果填在表③中)
问题应用:用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? (要求写出解答过程) 其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_______________根木棒。(只填结果)
(本小题满分9分)根据要求,解答下列问题. (1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可): ① . ② . ③ . (2)以上每个方程组的解中,x值与y值的大小关系为 . (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组,并直接写出它的解.
如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.(1)求证:∠ABC=2∠CAF;(2)若AC=,CE:EB=1:4,求CE的长.