已知数列的前项和为，，若数列是公比为的等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
已知 cos x - π 4 = 2 10 , x ∈ π 2 , 3 π 4 . （Ⅰ）求 sin x 的值； （Ⅱ）求 sin 2 x + π 3 的值.
已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F 1 - 3 , 0 ,一条渐近线的方程是 5 x - 2 y = 0 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程； (Ⅱ)若以 k k ≠ 0 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M , N ,线段 M N 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81 2 ,求 k 的取值范围.
已知数列 { a n } 的首项 a 1 = 3 5 ， a n + 1 = 3 a n 2 a n + 1 ， n = 1 , 2 . . . ． （Ⅰ）求 { a n } 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的 x > 0 ， a n ≥ 1 1 + x - 1 ( 1 + x ) 2 ( 2 3 n - x ) , n = 1 , 2 . . . ; （Ⅲ）证明： a 1 + a 2 + . . . + a n > n 2 n + 1 ．
已知函数 f ( x ) = k x + 1 x 2 + c （ c > 0 且 c ≠ 1 , k ∈ R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 x = - c ． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的另一个极值点； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的极大值 M 和极小值 m ，并求 M - m ≥ 1 时 k 的取值范围．
已知抛物线 C ： y = 2 x 2 ，直线 y = k x + 2 交 C 于 A , B 两点， M 是线段 A B 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N ． （Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 A B 平行； （Ⅱ）是否存在实数 k 使 N A ⇀ · N B ⇀ = 0 ,求 k 的值；若不存在，说明理由．
的前
项和为
，
，若数列
是公比为
的等比数列． 
；
，
，求数列
的前
．
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