已知直线与抛物线交于点A（1，），与轴交于点C．（1）求抛物

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知直线与抛物线交于点A（1，），与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时的值；若不存在，请说明理由．

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某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/ kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$ （元 $/ kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的函数关系式为： $y = \{\begin{matrix} 0.25 x + 30 (1 ⩽ x ⩽ 20 且 x 为整数) \\ 35 (20 < x ⩽ 40 且 x 为整数) \end{matrix}$ ，且日销量 $m (kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$ （天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$ 与 $x$ 的函数关系为　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1 kg$ 商品就捐赠 $n$ 元利润 $(n < 4)$ 给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$ 的增大而增大，求 $n$ 的取值范围．

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如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $∠ OCB$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $F$ 在直线 $AB$ 上，且 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $E$ ，连接 $AD$ 、 $BD$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ A = \frac{1}{2}$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $EF$ 的长．

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如图，已知 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $AC$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $AF / / BC$ 交 $DE$ 于点 $F$ ，连接 $AE$ 、 $CF$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是菱形；

（2）若 $CF = 2$ ， $∠ FAC = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，求 $AB$ 的长．

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 $m$ 的值．

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为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

等级	成绩 $(x)$	人数
$A$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	15
$B$	$80 ⩽ x < 90$	$a$
$C$	$70 ⩽ x < 80$	18
$D$	$x < 70$	7

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　；扇形统计图中， $C$ 等级所占的百分比是　　； $D$ 等级对应的扇形圆心角为　　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为 $A$ 等级的学生共有　　人；

（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

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