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如图， $D$ 是 $△ ABC$ 的边 $AB$ 上的一点，且 $AB = 3 AD, P$ 是 $△ ABC$ 外接圆上一点，使得 $∠ ADP = ∠ ACB$ ，则 $\frac{PB}{PD} =$ ＿＿＿＿＿.

如图， $△ ABC$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $AB = AC$ ，直径 $AD$ 交 $BC$ 于点 $E, F$ 是OE中点，如果 $BD / / CF, BE \cdot EC = DE \cdot AE$ ，且 $BE = \sqrt{5}$ ，则 $AC =$ ＿＿＿＿＿.

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如图，圆柱底面半径为 $2 cm$ ，高为 $9 π cm, A, B$ 两点分别在圆柱的两个底面圆周，且在同一母线上，用一根棉线从点 $A$ 顺着圆柱侧面绕 $3$ 圈到点 $B$ ，棉线最短需要＿＿＿＿＿ $cm$ （结果保留 $π)$ .

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如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $AB = 10, C, D$ 是上半圆弧 $AB$ 上的两个动点.弦 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ，则 $AE \cdot AC + BE \cdot BD =$ ＿＿＿＿＿.

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如图，圆锥的母线长是 $3$ ，底面半径是 $1, A$ 是底面圆周上一点，从 $A$ 点出发绕侧面一周，再回到 $A$ 点的最短的路线长是＿＿＿＿＿.

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