勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

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如图1，矩形 $DEFG$ 中， $DG = 2$ ， $DE = 3$ ， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB = 2$ ， $FG$ ， $BC$ 的延长线相交于点 $O$ ，且 $FG ⊥ BC$ ， $OG = 2$ ， $OC = 4$ ．将 $ΔABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 180 °)$ 得到△ $A' B' C'$ ．

（1）当 $α = 30 °$ 时，求点 $C'$ 到直线 $OF$ 的距离．

（2）在图1中，取 $A' B'$ 的中点 $P$ ，连结 $C' P$ ，如图2．

①当 $C' P$ 与矩形 $DEFG$ 的一条边平行时，求点 $C'$ 到直线 $DE$ 的距离．

②当线段 $A' P$ 与矩形 $DEFG$ 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $DG$ 的距离的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图1，排球场长为 $18 m$ ，宽为 $9 m$ ，网高为 $2.24 m$ ，队员站在底线 $O$ 点处发球，球从点 $O$ 的正上方 $1.9 m$ 的 $C$ 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点 $A$ 时，高度为 $2.88 m$ ，即 $BA = 2.88 m$ ，这时水平距离 $OB = 7 m$ ，以直线 $OB$ 为 $x$ 轴，直线 $OC$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图2．

（1）若球向正前方运动（即 $x$ 轴垂直于底线），求球运动的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系式（不必写出 $x$ 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点 $P$ （如图1，点 $P$ 距底线 $1 m$ ，边线 $0.5 m)$ ，问发球点 $O$ 在底线上的哪个位置？（参考数据： $\sqrt{2}$ 取 $1.4)$

题型：未知
难度：未知

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问题：如图，在 $ΔABD$ 中， $BA = BD$ ．在 $BD$ 的延长线上取点 $E$ ， $C$ ，作 $ΔAEC$ ，使 $EA = EC$ ．若 $∠ BAE = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，求 $∠ DAC$ 的度数．

答案： $∠ DAC = 45 °$ ．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $∠ B = 45 °$ ”去掉，其余条件不变，那么 $∠ DAC$ 的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $∠ B = 45 °$ ”去掉，再将“ $∠ BAE = 90 °$ ”改为“ $∠ BAE = n °$ ”，其余条件不变，求 $∠ DAC$ 的度数．

题型：未知
难度：未知

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如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 $E$ ， $H$ 可分别沿等长的立柱 $AB$ ， $DC$ 上下移动， $AF = EF = FG = 1 m$ ．

（1）若移动滑块使 $AE = EF$ ，求 $∠ AFE$ 的度数和棚宽 $BC$ 的长．

（2）当 $∠ AFE$ 由 $60 °$ 变为 $74 °$ 时，问棚宽 $BC$ 是增加还是减少？增加或减少了多少？

（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

题型：未知
难度：未知

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我国传统的计重工具 $- -$ 秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $x$ （厘米）时，秤钩所挂物重为 $y$ （斤 $)$ ，则 $y$ 是 $x$ 的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．

$x$ （厘米）	1	2	4	7	11	12
$y$ （斤 $)$	0.75	1.00	1.50	2.75	3.25	3.50

（1）在上表 $x$ ， $y$ 的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？

（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？

题型：未知
难度：未知

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